Parabel

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Keyword: Parabel

Links: Ellipse, Kreis, Hyperbel

Definition: Der Name Parabel stammt vom griechischen parabole „Nebeneinanderstellung“, zurückzuführen auf para „neben“ und bállein „werfen“. Eine Parabel ist eine ins Unendliche geöffnete Kurve. Sie ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand zu einem festen Punkt F (dem Brennpunkt der P.) und einer Geraden l (der Leitgeraden der P.) gleich groß ist. Diese Bezeichnung bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt. Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, der einer Parabel gleich 1.

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In der Literatur bezeichnet man eine mit dem Gleichnis verwandte, lehrhafte kurze Erzählung als Parabel.

Information: Die Parabel gehört wie der Kreis, die Ellipse und die Hyperbel zu den sogenannten Kegelschnittkurven. Das sind Kurven, die entstehen, wenn ein (Doppel-) kegel von einer Ebene geschnitten wird. Die vier Kurven gehen auseinander hervor: Wenn die Schnittebene sich dreht, werden aus dem Kreis Ellipsen, dann eine Parabel und dann Hyperbeln. Unter anderem entstehen Kegelschnittkurven bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises.

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Eine Parabel geht aus einer Ellipse hervor: Bewegt man einen Brennpunkt der Ellipse (hier: F2) weg vom anderen (hier: F1), so wird die Ellipse immer länglicher, bis schließlich F2 unendlich weit entfernt ist. Dann ist die Kurve eine Parabel.

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Wie der Kreis ist eine Parabel also eine Sonderform der Ellipse: beim Kreis fallen die beiden Brennpunkte zusammen, bei der Parabel liegt einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen.

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Alle Strahlen, die von F1 ausgehen, werden an der Kurve so reflektiert, dass sie parallel zueinander im Unendlichen verschwinden. In der Sprache der Projektiven Geometrie sagt man, sie schneiden sich im Unendlichen. Umgekehrt werden alle zur Hauptachse der Kurve parallelen Strahlen an der Parabelkurve so reflektiert, dass sie sich im Brennpunkt F1 treffen.

Diese „Brennpunkt“-Eigenschaft der Parabel wird in der Technik angewandt, z. B. für Parabolspiegel, die parallel einfallendes Licht auf einen Punkt bündeln und dort sehr große Temperaturen erzeugen können, oder bei Autoscheinwerfern, bei denen umgekehrt das Licht einer punktförmigen Lichtquelle in parallele Lichtstrahlen umgewandelt wird. Bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises entsteht als Abbild des Kreises immer genau dann – und NUR dann - eine Parabel, wenn der Betrachtende den Kreis berührt, also beim Übergang von innen nach außen oder umgekehrt.

So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Hyperbel findet man die Parabel in der Natur als „Spuren“ der vierten Dimension (Zeit oder Bewegung): So beschreibt z.B. ein hüpfender Ball, ohne Beachtung der Reibungsverluste Parabelbögen. Bei einer Hängebrücke mit einer gleichmäßig über die Spannbreite verteilten Streckenlast stellt sich eine parabelförmige Hängekurve ein. Umgedreht benötigen gleichmäßig belastete Bögen in Parabelform ein Minimum an Material, weil nur Druckkräfte und keine Schub- oder Biegekräfte entstehen.

Interpretation: Es ist immer wieder versucht worden, Gesetzmäßigkeiten der Mathematik, im übertragenen Sinne zu verstehen, besonders, wenn dabei der Aspekt der Unendlichkeit eine Rolle spielt. Nun basiert aber die Mathematik auf einer klaren Logik, die nur wahr oder falsch kennt und deshalb im Gegensatz zu symbolischen Betrachtungen steht, da diese eher ein Sowohl-als-auch–Denken benötigen. Insofern sind symbolische Betrachtungen von mathematischen Zeichen und Formeln mit besonderer Vorsicht zu sehen.

Eine Parabel entsteht, wie oben beschrieben, aus einer Ellipse, wenn der eine Brennpunkt der Ellipse im Unendlichen verschwindet. Die bei der Ellipse beschriebene wechselseitige Beziehung zwischen den beiden Brennpunkten (alle Strahlen von einem Brennpunkt werden an der Ellipsenkurve so reflektiert, dass sie sich im zweiten Brennpunkt treffen und umgekehrt), verschiebt sich bei der Parabel zu einer wechselseitigen Beziehung zwischen einem realen Punkt und dem Unendlichen: Alle Strahlen, die vom Brennpunkt ausgehen, werden von der Parabelkurve so reflektiert, dass sie parallel zueinander im Unendlichen verschwinden, während die von dort kommenden Strahlen im Brennpunkt wieder konzentriert werden. Diese wechselseitige Beziehung zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen, zwischen dem Konkreten und dem Unkonkreten, eignet sich m. A. als Bild für solche Situationen, in denen ein Mensch ganz offen ist für das Unendliche, das große Ganze, das Göttliche oder auch das Kollektive Unbewusste. Und wenn man diesem Bild glauben möchte, dann ist diese Offenheit eine wechselseitige.

Die Parabel erscheint als Abbild des Kreises in Momenten des Überganges von innen nach aussen und umgekehrt. Genau in diesem Moment – und nur dann - entsteht diese besondere Kurve mit ihren eigenen Gesetzmäßigkeiten. So scheint die Parabel ausdrücken zu wollen, dass in Übergangssituationen wie Anfang und Ende, Geburt und Tod, etc., aber auch in jedem einzelnen intensiv erlebten Augenblick, der ja den Übergang von der Zukunft in die Vergangenheit darstellt, der Mensch eine Einheit mit dem Kosmos bildet. So flüchtig dieser Moment sein kann, so stabil und universell ist er gleichzeitig. (Meister Eckehart spricht vom „gegenwärtigen Nun“, in dem der Sohn Gottes in der Seele geboren wird.)

Literatur: Standard; Wolfgang Haack, Darstellende Geometrie I-III, Sammlung Göschen de Gruyter; Rudolf Schmidt, Perspektive Schritt für Schritt, Bauverlag Wiesbaden und Berlin; Arnold Bernhard, Projektive Geometrie aus der Raumanschauung zeichnend entwickelt, Verlag Freies Geistesleben; www.kegelschnitte.de; Nikolaus Pevsner, Europäische Architektur, Prestel Verlag; Roman und Patrick Hocke, Michael Ende, Die Unendliche Geschichte, Das Phantasien-Lexikon, Thienemann Verlag; Friedrich Weinreb, Der göttliche Bauplan der Welt, Origo Verlag.

Autor: Ernst, Christine

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