Lemniskate

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Keyword: Lemniskate

Links: Unendlichkeit, Polarität, Hyperbel, Ellipse, Kreis, Zwei, Vier, Eins, Magier (Tarot)


Lemniskate.jpg

Definition: Eine (Bernoullische) Lemniskate ist eine zweidimensionale schleifenförmige Kurve. Der Begriff stammt von Jakob Bernoulli (1654 - 1705) und bezieht sich auf den griechischen Begriff „lemniscos“ =“ Band, Schleife“.

Geometrisch ist die Lemniskate definiert als der Ort aller Punkte P, deren Produkt der Abstände von zwei festen nicht identischen Punkten F1 und F2 gleich dem Quadrat des halben Abstandes zwischen den zwei Punkten F1 und F2 beträgt.


Information: Die Lemniskate wird auch als liegende Acht bezeichnet. In der Mathematik wird sie als Zeichen für Unendlich gebraucht: Wegen der unendlich hin- und her schwingenden Bewegung, die die Form der Lemniskate impliziert, immer abwechselnd zwei Pole umkreisend, gilt die Lemniskate in der Esoterik als Symbol für die Ewigkeit. Bei den Freimaurern wird die Lemniskate als Symbol für die weltweite Bruderkette verwendet. Der Magier aus dem Tarotspiel trägt als Hut eine Lemniskate.(Magier (Tarot)) In der Kinesiologie wird mit ausgestreckten Armen die Form der Lemniskate nachgefahren, um die Verbindung zwischen den beiden Gehirnhälften zu intensivieren.


Lemniskate Hyperbel.jpg

Interpretation: Eine Lemniskate umkreist zwei voneinander verschiedene Punkte (Pole), der Schwung von der einen Seite kommend scheint gerade auszureichen, den entgegengesetzten Pol zu umkreisen. Deshalb kann die Lemniskate als Symbol für eine ausgeglichene Balance zwischen den verschiedenen Polaritäten welcher Art auch immer verstanden werden.Durch eine Inversion am Kreis wird eine Hyperbel in eine Lemniskate verwandelt – und umgekehrt. Man nennt diese Transaktion auch Kreisspiegelung, obwohl es sich nicht um eine geometrische Spiegelung im eigentlichen Sinne handelt.[Die mathematische Festlegung ist dabei folgende: Zu jedem Strahl durch den Mittelpunkt M einer Hyperbel ( hier grün gezeichnet) gibt es einen Punkt A, für den gilt: Der Abstand vom Mittelpunkt M zum Schnittpunkt des Strahls mit der Hyperbel (Punkt B) multipliziert mit dem Abstand von M nach A ist gleich dem Quadrat des Kreisradius r. Alle Punkte, für die diese Festlegung gilt, bilden eine Lemniskate (hier blau gezeichnet).]

Durch diese Inversion am Kreis werden alle vier ins Unendliche verschwindenden offenen Enden der Hyperbel auf den einen Mittelpunkt (M) der Lemniskate abgebildet. Aus dem am weitesten Entfernten wird das Allernächste, das Zentrum, der Mittelpunkt.- und aus der vier die eins.


Während die Hyperbel das Zerrissen-Sein des Menschen zwischen den Polaritäten darzustellen scheint, so zeigt die Lemniskate eine ausgeglichene Balance. Vielleicht könnte man die mathematische Transaktion der Kreisspiegelung, die vom einen zum anderen führt, als Konzentration, Zentrierung, Verinnerlichung oder auch als Rücknahme von Projektionen verstehen?

(Natürlich ist auch hier, wie bei jeder „psychologischen Deutung“ mathematischer Gegebenheiten, eine angemessene Vorsicht geboten.)






Konstruktion Lemniskate 1.gif

Dass eine Lemniskate die wechselseitige Beziehung zwischen zwei Polen darstellt, lässt sich durch die Konstruktion mit einem Lemniskatenlenker besonders schön und anschaulich darstellen.

Hier wird deutlich wie beim Umfahren der Schleife auf der einen Seite der Einfluss des einen Pols schwindet, während gleichzeitig der andere Pol an Einfluss gewinnt – und umgekehrt. Zwei Pole sind hier als Punkte F1 und F2 dargestellt. Sie sind gleichzeitig Mittelpunkte zweier Kreise, die sich so schneiden, dass zwischen ihren zwei Schnittpunkten und den beiden Mittelpunkten F1 und F2 ein Kreuz mit vier gleich langen Teilstrecken entsteht.

Die beiden Pole F1 und F2 werden jetzt durch drei gelenkig miteinander verbundene Stäbe verbunden (rot, schwarz, blau). Die Länge des roten und der blauen Stabes entspricht dem Radius der Kreise. Der schwarze Stab zwischen den beiden ist so lang wie der Abstand zwischen den beiden Polen. In der Mitte des schwarzen Stabes ist eine grüner Punkt (L) markiert.


Konstruktion Lemniskate 2.gif

Bewegt man jetzt einen der Stäbe, passiert folgendes: Der rote Stab kreist um den Punkt F1, der blaue Stab, gezogen vom schwarzen Stab bewegt sich im Kreis um den Punkt F2. Der schwarze Stab befindet sich dazwischen und der markierte grüne Punkt L zieht die Kurve der Lemniskate nach.

Verknüpft mit beiden Kreisbewegungen, schwingt der grüne Punkt schleifenförmig um die beiden Pole herum. Während er um den linken Pol (F1) schwingt, bewegt sich der rote Stab schnell, er scheint die Zugkraft zu besitzen, während der blaue seine Geschwindigkeit verlangsamt. Wenn der schwarze Stab wieder senkrecht steht, kippt die Anordnung: nun beschleunigt der blaue Stab und der rote wird langsam, während der grüne Punkt auf der Kurve der Lemniskate um den rechten Pol (F2) herum schwingt.





Im Internetlexikon Wikipedia kann man unter dem Stichwort Lemniskate die Bewegung eines Lemniskatenlenkers in einer Animation betrachten.

Im Gegensatz zur "Quadratur des Kreises" ist eine "Quadratur der Lemniskate" geometrisch einfach: Die Fläche, die die Lemniskate umschreibt, ist genau so groß wie der Flächeninhalt des (in der Zeichnung grauen) Quadrates, das durch die Schnittpunkte der beiden oben beschriebenen Kreise und den beiden Polen F1 und F2 aufgespannt wird, der Wert beträgt 2a², wobei a der jeweilige Abstand der beiden Pole vom Zentrum der ganzen Anordnung ist.

Quadratur Lemniskate.gif



Literatur: Standard; Wolfgang Haack, Darstellende Geometrie I-III, Sammlung Göschen de Gruyter; Arnold Bernhard, Projektive Geometrie aus der Raumanschauung zeichnend entwickelt, Verlag Freies Geistesleben; wikipedia, Wikimedia Commons, http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/cassini1.htm

Autor: Ernst, Christine

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